CÁLCULO PARA MEMORIA TECNICA DE INSTALACIÓN DE: Antena tipo Cobweb

Voy a desarrollar cómo sería el cálculo para la memoria de instalación de una antena tipo Cobweb sobre un mástil de 5 m. arriostrado.

La antena tipo Cobweb, de diversas marcas o, incluso, de construcción propia que se va a considerar aquí, se le supone una superficie total de 0,2 m2 e incluye todas las partes de la misma, es decir, los tubos horizontales, a caja de conexión y el hilo que la forma, como para 5 bandas, además he considerado un porcentaje de un 10% superior al que se obtiene fielmente de esos cálculos. Con un peso aproximado a 4,5 kg.

Figura-1. Alzado

Se va a  tener en cuenta aquí que se instala en un mástil de 2500x40x2 mm, acero inoxidable, cincado, del tipo 3009 de Televés. Consideraremos la longitud inicial del mástil de 5 metros en total, ya que está dimensionado en mástiles individuales de 2,5 metros. Vamos a estimar los cálculos para una velocidad del viento de 150 km/h, que supone, con una densidad del aire de 1,225 kg/mm³ y una presión del viento de 1060 Kg/m². 

Consideraremos un coeficiente eólico (Ce) de 0,7. También redondearemos los cálculos hacia arriba para aumentar la seguridad en nuestro beneficio.

Hay dos tipos de cargas en el sistema: Las cargas distribuidas, como son las antenas verticales y los mástiles y torretas. En este caso, al considerar el momento flector, se supone que la fuerza está aplicada en el centro de la longitud que tiene. Las cargas puntuales son las horizontales, como antenas yagi en horizontal, dipolos, radiales de las antenas y rotores.

El objetivo de los cálculos es el siguiente:

• Justificar que el mástil soporta el momento flector provocado por la antena
• Calcular el diámetro de las riostras que se han de instalar y su altura.
•  Justificar que el soporte del mástil soporta el peso que provoca en él
• Justificar que las zapatas que sujetarán las riostras son las adecuadas.

Para ello tenemos que conocer, en este caso, las siguientes variables, sencillas de calcular:

•      Superficie de la antena
•      Superficie del mástil

Según lo previsto pues, la antena, al ser horizontal, será considerada como una carga puntual y no distribuida. Considerando la presión del viento a 150 Km/h de 1060 N/m² tendremos:

Presión del viento en la antena:

Superficie de la antena: 0,2 m²
P_A = superficie (Sa) x Presión del viento (Pv) x coeficiente eólico (Ce)
P_A = 0,2 m² x 1060 N/m² x 0,7 = 148,4 N
Superficie del mástil: 0,040 m x 2,5 m = 0,1 m² o, lo que es lo mismo, 0,04 m² /m

Carga del viento en el mástil:

La carga del mástil Qm al ser distribuida la consideraremos por cada metro lineal:

Qm = superficie de 1 m del mástil x Presión del viento x coeficiente eólico /m (por metro de mástil)

Qm = 0,04 m x 1 m x 1060 N/m² x 0,7 = 29,68 N/m

Supongamos un voladizo del mástil de 1,5 metros, vamos a calcular el momento flector de ese tramo de mástil por influencia de la antena. Al ser una carga distribuida, el punto de aplicación de la fuerza en el mástil es el punto medio de su longitud. Así:

MF = el debido a la antena + el debido al mástil

MF = 148,4 N x 1,5 m + 29,68 N/m x 1,5 m x 0,75 m = 256 Nm

Explicación del momento flector:

Antena: Carga de la antena por su distancia a ubicación de riostras: 148,4 N x 1,5 m

Mástil: Carga del mástil /m x long. mástil x distancia a riostras/2 =  N/m x 1,5 m x 0,75 m

Si al momento flector le aplicamos un coeficiente de seguridad del 50% nos dará:

MF = 256 N x 1,5 m = 384 Nm que para un mástil tipo 3009 de Televés, (508 Nm), CUMPLE.

Cálculo de las riostras:

Veremos ahora la tensión a que estará sometida una sola riostra en dos supuestos: que sea una sola la que aguante todo el esfuerzo del viento y que esté a un ángulo aproximado de 30º con respecto al mástil. Ésta última consideración se podrá evaluar por el teorema de Pitágoras para ver el ángulo que se forma. Tendríamos que medir la distancia horizontal existente desde el punto de sujeción de las riostras al mástil y la altura existente desde el punto de aplicación de las riostras en el mástil hasta la base de éste. De esta forma sabremos la longitud de cada riostra y, por trigonometría, el ángulo que forma. Ver la figura-1.

Así, por ejemplo, en nuestro caso, las medidas anteriores son 2,30 m y 3,8 m, aplicando la regla de la tangente trigonométrica, tenemos:

Tag α = Cateto opuesto/cateto contiguo = 2,3 m/3,8 m = 0,60 y arco tg es aprox. = 30^o

Esto lo podemos hacer con la ayuda de una calculadora científica en el propio Windows, seleccionando en la calculadora la ventana “Trigonometría”. Fácil.😊

Para calcular la tensión en una única riostra, como si ella sola soportara el esfuerzo del viento en el sistema, tenemos dos procedimientos: 

Un procedimiento científico, ayudándonos de la teoría de vigas o de algún programa de ordenador o página web que nos dé esos cálculos hechos. O bien un procedimiento práctico y sencillo que nos lleve a un resultado similar y obtener unos resultados fiables con él. 

Utilizaremos este segundo procedimiento.😉

Calculemos primero el momento flector en el soporte superior, que está a 0,5 m del inferior.

MF = PA x distancia al soporte + Qmástil x distancia al soporte / 2

MF = 148,4 N x 4,5 m + 29,68 N/m x 4,5 m  x 2,25 m =  667,8 Nm + 300,5 Nm = 968,3 Nm

Vemos que es un momento muy superior al que soporta este tipo de mástil, que es (aplicando un porcentaje de seguridad) de 508 Nm

Así pues, vamos a considerar que el esfuerzo que hacen las riostras va a compensar ese momento  flector, es decir:

F_Rb x 3 m = Reacción de las riostras x distancia al soporte, entonces:

F_R = 968,3 Nm / 3 m = 322,7 N (33 kg). Démosle un 10% de aumento para confianza del sistema y tendremos 322,7 N x 1,1 = 354 N (36,1 kg)

Si esta es la fuerza que tiene que hacer la riostra (recordemos, una sola) en horizontal, la componente que forma un ángulo de 30^o con la vertical, tendrá un valor de:

FR = 36,1 kg / sen 30^o = 72,2 kg 

Para el pretensado de la riostra, siguiendo las recomendaciones del fabricante, añadiremos un 10% de la carga de rotura indicada que, en nuestro caso, es de unos 200 kp. Esto supone unos 20 kg adicionales.

72,2 kg + 20 kg = 92,2 kg (todo son valores aproximados en alza, porque no vamos a poner un dinamómetro para medir cuánto tiramos de la riostra para tensarla, claro).

Esta tensión de riostra provocará una componente horizontal y otra vertical, ambas las necesitamos. Ver la figura-3

Cv = 92,2 x cos 30^o = 79,8 kg

Ch = 92,2 x sen 30^o = 46,1 kg

Sección de la riostra

Para 200 kp de carga máxima, el fabricante estima unos 63 kg/mm² (ver tabla extraída de los catálogos). El valor de esta sección será:

S = 92,2 kg / 63 kg/mm² = 1,46 mm² y su diámetro, por la expresión de la superficie del círculo, será:   = 1,36 mm por lo que la riostra tendrá un mínimo de 2 mm de diámetro.

Veamos ahora que la componente vertical son 79,8 kg que habrán de sumarse al peso de la antena y del mástil en el soporte superior de sujeción.

Peso sobre el soporte:

P = 79,8 kg + 5 kg (mástil) + 4,5 kg (antena) = 89,3 kg

Este peso, provocará un momento flector en el soporte superior de sujeción, suponiendo que tiene una longitud de 20 cm de:

M_flector en el soporte: 0,20 m x 89,3 kg = 17,86 kg

Si los soportes son en “L” de 20 cm, por ejemplo 2404 de Televés, sujetos al paramento vertical con tornillos expansivos de 8 mm penetrando 6 cm y taco químico, soportarán perfectamente este esfuerzo (ver catálogo HILTI).

Soporte de las riostras

Si las riostras están sujetas con garras de muro a un paramento vertical, se pueden utilizar los soportes usados en el mástil, instalados de igual forma, con tornillos expansivos y taco químico HILTI (ver catálogo).

Si se instalaran en el suelo, las zapatas deberán ser de dimensiones 85x85x70 cm. Ver las orientaciones en el catálogo “Torres” de Televés.

Procedimiento científico con programa de cálculo:

 

MEMORIA PARA INSTALACIÓN DE 3 ANTENAS EN TORRE ARRIOSTRADA DE 6,5 METROS

Diego Doncel, EA1CN

doctorohmio@gmail.com

Descripción del sistema de antena que se propone aquí

El sistema radiante está formado por una torre triangular de 6,5 m de altura y 220 mm de lado, en la que se embutirá un mástil que soportará las antenas. Los ejemplos de antenas serán tres de diversas bandas, una para UHF (70 cm), otra para VHF (2 mts) y otra para la banda de 6 mts. Están previstas a  sean soportadas en un mástil de dimensiones 3000x45x2 mm embutido en la puntera de la torreta, de forma que presenta un voladizo de 1,5 metros y otro tanto embutido en la torreta hasta el rotor que las hace girar.

La torre que se menciona consta de dos secciones intermedias de 2,5 m y una puntera de 1,5 m donde se aloja el rotor con el mástil y que presenta un voladizo de 1,5 m para alojar las antenas. La torre está arriostrada con un juego de tres riostras a 120º y se estima un ángulo de 40º respecto a la vertical. El sistema está apoyado en una base homologada y embutida en un prisma de hormigón, como se verá, de 40x40x50 cm; esta base de hormigón armado deberá formar cuerpo con el suelo que la sustenta a través de los correspondientes espárragos que unan ambas estructuras. Caso de instalarse en terreno externo, jardín, prado, etc. se realizaría con las condiciones que procedan y con las dimensiones que se mostrarán al final.

En el caso de que el ángulo de la riostra con la torre no sea de 40º, habría que retocar los cálculos en ese aspecto, usando trigonometría básica.

Las riostras, como se verá, estarían sujetas a pilotes de dimensiones 85x85x70 cm con hormigón armado, empotrados en el suelo del edificio.  Esta sujeción debe garantizar la resistencia del sistema al esfuerzo a que está sometido. Esta dimensión hay que justificarla, para lo que se recurre a los catálogos. En este caso Televés y que se pueden observar en el cuadro correspondiente al final.

Cálculo de las solicitaciones del sistema

Datos de las antenas ejemplo:

Antena	Banda	Long. Boom	Superficie m2	Peso kg
Antena-1	UHF 70 cms	5,5 m	0,18	3,8
Antena-2	VHF 2 mts	5,6 m	0,20	4,3
Antena-3	VHF 6 m	4,8	0,32	4,2
			Total…..	12,3

Mástil 3000x45x2 mm tipo 3010 de Televés M_Flector = 656,75 Nm

Siempre, lo primero que hay que hacer es calcular o conocer todas las superficies implicadas en el sistema de antenas: antenas, mástil, rotor, torre. De las antenas se suele obtener por el fabricante, a veces es más práctico tomar algunas medidas aproximadas de diámetros y longitudes para hallarlas, he encontrado algunos errores importantes. Del rotor, no es difícil estimar una superficie, que ronda muchas veces los 0.08 m². A veces redondeo algún decimal o aproximo una dimensión porque, como veremos, tenemos un margen, al final, en los componentes que utilizamos para la instalación.

Superficie del másil:

Sm = 0,045 m x 3 m = 0,135 m² que, por cada metro es: 0,045 m²/m

Superficies de la torre (catálogo fabricante):

Tramos intermedios (cada uno): 0,29 m²

Tramo superior: 0,12 m²

Velocidad del viento para cálculos: 150 km/h y Presión del viento: 1060 N/m²

Resistencias al viento:

Las cargas que se enfrentan al viento son de dos tipos: Distribuidas y puntuales.

Los mástiles y antenas verticales son distribuidas (carga o resistencia al viento por unidad de longitud), las yagi, dipolos y rotores, por ejemplo, son puntuales. Cuando se trata de superficies cilíndricas se adopta un coeficiente eólico, ya que no son superficies planas puras, entonces se usa un coeficiente que aquí tomaré como Ce=0,7.

De las antenas:

Las antenas son cargas puntuales, no distribuidas. Lo que se expresa es el producto de la superficie de la antena por la presión del viento y por el coeficiente eólico (0,7).

Resistencia al viento = superficie x Presión del viento x Ce

Antena-1 P_A1= 0,18 m² x 1060 N/m² x 0,7= 133,6 N

Antena-2 P_A2= 0,20 m² x 1060 N/m² x 0,7= 148,4 N

Antena-3 P_A3= 0,32 m² x 1060 N/m² x 0,7= 237,44 N

Del mástil:

El mástil es una carga distribuida. Se utiliza su carga por unidad de longitud (N/m)

La longitud del mástil en voladizo y el interno son 1,5m y 0,045 su diámetro. Así pues, su superficie, que es su longitud por su diámetro y por la presión del viento y por el coeficiente eólico.

Qm = 1,5 m x 0,045 m x 1060 N/m² x 0,7 = 50 N o bien 33,4 N/m 

Del rotor:

Protor = 0.08 m² x 1060 N/m² = 84,8 N

De la torre

QT = (0,29 m² x 2 + 0,19 m²) x 1060 N/m² x 0.7 ≈ 520 N

Momento flector del mástil en la cúspide de la torreta:

Primero vamos a determinar si el mástil, en su voladizo, soporta el momento flector a que lo someten las antenas previstas.

El momento flector es el producto de la fuerza por la distancia al punto de apoyo o soporte, en este caso es el vértice de la torreta.

Las antenas son cargas puntuales y por eso distancia es la que se puede observar en los dibujos, pero el mástil, al ser una carga distribuida, vertical, su punto de aplicación es la mitad de su longitud, por eso aparece 0,75 m. Así pues:

M_F = 133,6 N x 1,5 m + 148,4 N x 0,75 m + 237,44 N x 0,1 m + 50 N x 0,75 m = 373 Nm

Con un margen de seguridad del 50%, el resultado sería:

M_F= 373 Nm x 1,5 = 560 Nm, el mástil 3010 de Televés CUMPLE.

Cálculo de las riostras:

Desde mi punto de vista hay dos métodos para calcular las riostras, el científico, utilizando fórmulas y expresiones numéricas complicadas referentes a vigas empotradas con apoyos para lo que hay programas y páginas webs que lo hacen, como skyciv.com (de pago con franquicia de 15 días) o bien por el método fácil, práctico y aproximado, ya que nosotros no somos científicos sino aficionados y lo que deseamos es conocer los valores seguros de las condicionantes del sistema para que, una vez montado, cumpla con la seguridad que se necesita. Ambos procedimientos nos llevan a resultados muy similares.

A continuación, el resultado del cálculo efectuado con Skyciv:

Obsérvese que el resultado calculado es de, aproximadamente, 1065 N

Las riostras van a compensar o contrarrestar el esfuerzo que hace el viento para provocar un momento flector en la torre. Así pues, vamos a calcular el momento flector en la base de la torre, como consecuencia de todo lo instalado en ella.

MT = Antenas + mástil voladizo + mástil interno + rotor + torre.

Siempre será el producto de su carga al viento por la distancia a la base de la torre.

Momento de las antenas:

MA = 133,6 N x 8 m + 148,4 N x 7,25 + 237,44 x 6,6 ≈ 3712 Nm

Momento del mástil en voladizo:

Mmv = 50 N x 7.25 m = 362,5 Nm

Momento del mástil interno:

Mmi = 50 N x 5,75 m = 287,5 Nm

Momento del rotor

Mrotor = 84,8 N x 5 m = 424 Nm

Momento de la torre entera

Mtorre = 520 N x 3.25 m = 1688 Nm

Suma total de momentos en la base:

MT = 3712 Nm + 362,5 Nm + 287,5 Nm + 424 Nm + 1688 Nm = 6474 Nm

Tensión a que va a estar sometida una sola riostra (peor caso):

Para simplificar y por seguridad, convenimos en que el viento sople, en el peor de los casos en la dirección de una sola riostra, de manera que como será improbable, lo que calculamos para una sola (que aguante todo el esfuerzo) se lo aplicamos a las tres riostras. Siempre jugamos con la máxima seguridad en este caso, lo que no nos garantiza un viento terrible superior al estimado y de consideración fuera de lo normal. El caso es “dormir tranquilo”.

La fuerza que se ejerce en el punto donde irán sujetas las riostras (Rb) será la suma de todas las fuerzas existentes en el conjunto. En la figura 2 se ve dicho diagrama de tensiones.

Así pues, entendemos que la fuerza que la riostra (única) Rb tiene que realizar será la que compense el momento flector que hay en la base de la torreta. Es decir, su fuerza, por la distancia a la base (momento flector) debe ser mayor que el resultado obtenido antes, esto es:

Rb N x 6 m > 6474 Nm , de donde

Rb > 6474 Nm / 6 m > 1080 N (que podríamos redondear a 1100 N) (112 Kg aproximadamente)

Vemos que, en nuestro caso, la riostra forma un ángulo de 40^o con la torre. Este ángulo tiene su importancia y puede calcularse en cada caso, midiendo la distancia desde la sujeción de una riostra hasta la torre y considerando la altura de ésta, entonces la división de una distancia entre otra nos dará la tangente del ángulo, todo aproximadamente, no es preciso un cálculo científico, como se verá luego. En nuestro caso, viendo el dibujo del alzado, estas medidas son 5 metros y 6 metros, así pues:

Arc tg (tg^-1) de 5/6 = 39,6^o o, aproximadamente, 40^o

Necesitamos conocer dos datos de este ángulo, que son el seno y el coseno.

Sen 40^o = 0,64  y cos 40^o = 0,76

Como el viento (suponemos) sopla perpendicularmente a la torre y la riostra forma un ángulo con ella, la tensión de la riostra será:

112 kg / sen 40^o = 112 kg / 0.64 = 175 kg

Se aproxima al valor de 200 kg que es el que tiene la carga de rotura de un cable de 2 mm de diámetro, así que, por más seguridad y confianza podríamos poner un cable de 3 ó 4 mm. Si es de 3 mm suelen tener una carga de rotura de 784 kg (ver cuadro), por lo que los fabricantes estiman un pretensado de un 10% de dicho valor, que, en nuestro caso es alrededor de los 80 kg, valor que sumado al anterior nos da:

Tr = 175 kg + 80 kg = 255 kg

Este valor de tensión tendrá una componente vertical (que actuará sobre la propia torreta y su base) y una componente horizontal, que actuará sobre las zapatas o sujeciones de cada riostra. Ver figura-3

Cv = 255 Kg x cos 40^o = 195 Kg

Ch = 255 kg x sen 40^o = 164 kg

Si quisiéramos afinar los valores, por curiosidad, este tipo de cable tiene una carga de rotura, según el fabricante de unos 76 kg/mm² lo que, en función de nuestro cálculo de tensión de riostra, nos daría una sección de:

Secc = 255 kg / 76 kg/mm² = 3,35 mm² que llevado al diámetro, por la superficie del círculo:

Despejando D=   à (D) Ø = 2 mm mínimo

Viendo el dibujo de la figura 3, la parte vertical de las tensiones corresponde con la presión vertical de la componente que tiene la riostra, o sea, 195 kg.

Base de la torreta y sujeción de riostras

Veamos el peso que soportará la torre en su base:

Peso = Antenas + mástil + rotor + torre + componente vertical riostra + persona

Peso = 12,3 kg + 6,5 kg + 6 kg + 30 kg + 195 kg + 80 kg ≈ 303 kg

Si vemos la recomendación de Televés en cuanto a las bases de torreta, en el cuadro siguiente:

Podemos decidir si es terreno seco o húmedo, en caso de tierra o prado. En caso de terreno seco, terraza o similar, el tamaño sería de 40x40x50 cm, con la base homologada embutida en ella y con encofrado, sujeta con espárragos roscados al suelo donde se ubique. Muy importante.

Según los resultados de las componentes vertical y horizontal, en las sujeciones de riostras tenermos que tener en cuenta esos valores y, viendo la recomendación de Televés en el cuadro siguiente:

Cada pilote de riostra tendrá unas dimensiones mínimas (ver tabla) de: 85x85x70 cm. Formando parte del encofrado del suelo donde se instalen o sujeción muy equivalente.

Podría utilizarse, caso de muro portante, garras de muro con argollas para riostras o soporte de mástiles, sujetas a ladrillo con tornillos expansivos de 8 mm y 6 cm de penetración en taco químico. Ver características y solicitaciones en el catálogo de HILTI.

 

Notas:

Si se va a utilizar para la Memoria Técnica a presentar en Telecomunicaciones, además de los planos, yo haría las siguientes observaciones:

-       Hay que presentar la memoria completa, datos, planos, cálculos y relación de materiales. Aparte de esto (todo junto como “Memoria Descriptiva”) hay que presentar los planos de situación, planta y alzado.

-       Planos: El de situación del edificio, que se obtiene de sigpac o el catastro. El de planta de ubicación de antenas, muy detallado, añadiendo distancias a todo lo que rodea a la instalación, a chimeneas, al borde del edificio, torreón de ascensor, todo. El plano de alzado, similar al que propongo, con cotas y medidas a chimeneas, alturas, distancia a la antena de TV, etc. Los planos se pueden hacer a mano sin ningún problema.

-       Cálculos. En principio no hay que copiar todo lo expuesto, sino sólo los resultados. Si quieren más detalles ya los pedirán, si acaso.

-       Materiales. Lista de materiales y hojas descriptivas (resumidas) de los materiales a utilizar, como antenas, torre, cables, guardacabos, tensores, argolla de riostras, etc. Estos datos se pueden obtener de los catálogos de Televés o del fabricante de la torre, por ejemplo. No hay que añadir diagramas de radiación de antenas, ni curvas de atenuación del cable, ni gráficos que no aporten más que páginas sin datos que se necesiten para el instalador que es quien montará la instalación.

-       Línea de alimentación. Sólo es necesario especificar la marca, el tipo, el grosor, la longitud y por donde discurrirá hasta la estación. 

Notas de Instalación

-       Las riostras se sujetarán en la parte del aro de torreta, no en el aro. En el tubo vertical.

-       Las riostras llevarán tensores y sujeta-cables. Se tensan con la mano, se re-tensan a los 15 días. En caso de ser de cuerdas Dyneema el mantenimiento es peculiar.

-       Se pueden poner las riostras de 3 mm; no son necesarias, necesitan más tensión inicial y harán más esfuerzo vertical sobre la base, pero están dentro de márgenes. Hay que tenerlo en cuenta. No son necesarias las riostras en un segundo punto, pueden ponerse por confianza, de las mismas características que las principales. Teniendo en cuenta lo anterior, si se utilizan cuerdas Dyneema, el fabricante da una tabla de cargas de rotura. Nunca hacer nudos en ellas.

-       La base de la torreta, normalizada, será embutida en el prisma en el momento del fraguado del hormigón armado. Cuidando su nivel con un medidor.

-       Para las riostras se utilizarán argollas normalizadas embutidas en el pilote.

-       Se vigilará seriamente la verticalidad de la torreta. Se ajusta con arandelas en los pernos de la base, de ser necesario.

-       El mástil no debe quedar abierto por arriba, hay que taparlo para evitar resonancias acústicas.

-       Según donde se instale la torreta puede producir vibraciones en el edificio.

-       Nota Importante: Diego, EA1CN. No me hago responsable del uso de esta información. Estos cálculos y valores son meramente informativos, no válidos para ser considerados oficiales ni incluidos en homologaciones ni validación de instalaciones de radioaficionados, profesional ni de otra índole.

-       Agradecimientos y bibliografía:

-       EA4DTP, Luis Ignacio

-       Mecánica Aplicada, Ramiro A.

-       Televés, catálogo Torres

-       https://platform.skyciv.com/